Korrelationen und wie du davon profitierst

Wie werden Korrelationen berechnet?/Wie misst man Korrelationen?

Dass bspw. beim Nasdaq 100 und S&P 500 ein Zusammenhang in der Entwicklung besteht, ist sofort klar. Um das nun aber auch für sich nutzen zu können, sollte man die Stärke dieser Korrelation im Detail messen können. Es wird nun etwas mathematisch, aber ich versuche das Prinzip dahinter möglichst simpel auch in einfache Worte zu fassen.

Korrelationskoeffizient

Der Korrelationskoeffizient ist der gängige Maßstab um die Stärke einer Korrelation zu messen. Er kann Werte von -1 bis 1 annehmen, wobei -1 einer perfekten negativen Korrelation entspricht (die beiden Basiswerte entwickeln sich also genau entgegengesetzt) und 1 einer perfekten positiven Korrelation (die beiden Basiswerte entwickeln sich also immer in eine Richtung).

Bei der Berechnung muss zunächst festgelegt werden über welchen Zeitraum und in welcher Zeiteinheit eine Korrelation untersucht werden soll. Wir nehmen nun beispielhaft immer den Tages-Chart (also die Tages-Renditen) und einen betrachteten Zeitraum von 100 Tagen. Im Folgenden eine Erklärung zur Berechnung – wem das zu viel ist, der überspringt die kursiven Absätze.

Da wir wissen möchten wie wahrscheinlich es ist, dass sich beide Basiswerte in dieselbe Richtung bewegen, untersuchen wir nun jeden Tag einzeln. Dabei ermitteln wir jeweils die Differenz aus der Tagesrendite und der durchschnittlichen Tagesrendite (in diesen 100 Tagen) und multiplizieren die Ergebnisse für beide Basiswerte miteinander. Das wird für jeden Tag in der gesamten Laufzeit wiederholt und die Ergebnisse addiert.
>> Aber warum? Die Antwort ist ziemlich einfach. Für ein sehr vereinfachtes Beispiel (es geht hier nur ums Prinzip) nehmen wir mal an die Durchschnittsrendite beider Basiswerte belief sich auf 0, sodass wir nur noch die Tagesrenditen betrachten müssen. Sind beide Tagesrenditen positiv, ergibt sich bei der Multiplikation ein positiver Wert. Sind beide Tagesrenditen negativ, ergibt sich wieder ein positiver Wert. Nur wenn die Entwicklung beider Basiswerte unterschiedlich war, ergibt sich ein negativer Wert. Macht man das nun für jeden Tag, dann wird die Gesamtsumme von dieser Rechnung umso größer, wenn sich beide Basiswerte in eine Richtung entwickeln. Entwickeln sie sich entgegengesetzt, dann wird die Gesamtsumme umso kleiner bzw. sogar negativ. Wir können an der Stelle also schon einmal klar unterscheiden ob die beiden Basiswerte sich eine eine tendenziell in Richtung bewegen oder nicht.

Mit diesem ersten Teil der Berechnung haben wir nun schon einmal eine Tendenz, aber wirklich vergleichbar ist das Ergebnis nicht. Betrachtet man bspw. die Korrelation für 10 Tage, dann ist die Summe natürlich viel kleiner als für 1.000 Tage. Es bedarf also noch einem geeigneten Nenner, der aus diesem Zwischenergebnis einen wirklichen vergleichbaren Koeffizienten macht.

Wem das Prinzip der Standardabweichung geläufig ist, der erkennt sofort was in der Formel unter dem Bruchstrich steht. Hier wird wieder jede Differenz aus der Tagesrendite und der durchschnittlichen Tagesrendite gebildet. Auf diese Weise wird wieder die Abweichung (entweder positiv oder negativ, also höhere oder niedrigere Rendite als im Durchschnitt) errechnet. Statt dies aber nun von beiden Basiswerten miteinander multiplizieren, multipliziert man den Wert mit sich selbst. Das führt dazu, dass wir hinterher bei der Summenbildung nicht das Problem haben, dass sich positive und negative Abweichungen vom Durchschnitt einfach ausgleichen. Weicht ein Basiswert schließlich einmal um 3 % und einmal um -3 % vom Durchschnittswert ab, dann sollen diese beiden Abweichungen ja nicht einfach ignoriert werden (sonst würde man das ja so behandeln als ob es nie eine Abweichung gegeben hätte). Das ist das typische Prinzip der Varianzermittlung. Auch hier wird im Anschluss wieder die Summe für alle quadrierten Abweichungen gebildet, also letztendlich so wie im ersten Teil der Gesamtrechnung. Diesen Schritt macht man für beide Basiswerte, multipliziert das Ergebnis und zieht am Ende die Wurzel.
>> Warum das Ganze? Es klingt komplizierter als es ist. Wir machen im gesamten “unteren Teil” der Rechnung genau dasselbe wie im “oberen Teil”. Wir betrachten dieses Mal aber jeden Basiswert einzeln und gucken uns nicht den Zusammenhang beider Renditen an (also ob die beide positiv, beide negativ oder verschieden sind), sondern einfach nur die Abweichungen. Da wir dieselben Werte wie in der ersten Teilrechnung verwenden, haben wir auf diese Weise einen Teiler in der perfekten Größe um einen Koeffizienten zu errechnen.

Das Prinzip ist schriftlich nicht so leicht zu erklären, aber zumindest der Grundgedanke sollte verständlich sein: Einmal schauen wir uns an ob die Renditen beider Basiswerte in dieselbe Richtung abweichen oder sich entgegengesetzt entwickeln – dieser obere Part der Berechnung bestimmt darüber ob die Korrelation positiv oder negativ ist. Danach ermitteln wir einen geeigneten Teiler, der das Ganze noch um die allgemeine Volatilität bereinigt.